基于 CPM 的量子 LDPC 码的对划分构造

Pair-Partition Constructions for CPM-Based Quantum LDPC Codes

arXiv: 2607.14091v1

论文信息

标题: Pair-Partition Constructions for CPM-Based Quantum LDPC Codes

作者: Koki Okada, Kenta Kasai

发布日期: 2026-07-15

arXiv ID: 2607.14091v1

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  • 研究问题：如何系统性地构造具有高码率和大距离的循环置换矩阵（CPM）基量子低密度奇偶校验（LDPC）码，同时确保 CSS 正交性。
  • 核心方法：通过配对分区数组施加线性配对差方程，强制 X 和 Z 校验矩阵之间的正交性，并排除 4 环。候选码使用计算机搜索从解空间中筛选，距离通过穷举低权重排除和显式见证验证。
  • 关键结果：构造了 12 个列重为 3 或 4、围长 6 的 CSS 量子 LDPC 码实例。其中 [[574,252,18]] 的码率达到 0.439，距离 18 超过了行重 14；[[944,478,≥20]] 是论文记录的最大码率（0.506）实例。
  • 主要局限：构造不保证非零距离或特定距离下限。距离验证依赖对已构造固定矩阵的穷举搜索，计算代价高。论文未提供通用距离下界的代数证明。
  • 适合读者：研究量子纠错码、特别是量子 LDPC 码代数构造的研究者；对 cpm 基 CSS 码的正交性约束和距离计算感兴趣的研究生和领域专家。

论文背景和研究动机

量子 LDPC 码结合了经典 LDPC 码的稀疏校验特性和量子纠错的稳定子形式。Calderbank–Shor–Steane（CSS）构造利用一对满足正交性的经典线性码来构建量子码。然而，如何同时满足稀疏性、高码率和大最小距离这三者，是量子 LDPC 码设计的核心挑战。准循环（QC）LDPC 矩阵由循环置换矩阵（CPM）构成，能以紧凑的指数形式表达矩阵的结构性质。代数化的 CPM 基量子 LDPC 构造已有研究（见论文引言部分引用的 Hagiwara 和 Imai 的工作），但要在 CSS 正交性约束下实现最小距离 d 大于行重 L 仍是一个困难问题。

论文的目标是建立一个参数化的 CPM 基 CSS 构造框架，通过配对分区机制自动满足正交性，再结合计算机辅助搜索寻找高性能实例。这一工作位于纯代数构造和完全随机搜索之间，为量子 LDPC 码设计提供了一个可控的代数搜索空间。

核心方法和技术细节

本节详细解析论文提出的配对分区构造方法。

CPM 块矩阵的定义

固定列重 J、行重 L（L 为偶数）和素数提升尺寸 P。X 和 Z 两个校验矩阵各由 J×L 的 CPM 块组成。每个 CPM 块 C(s)是 P×P 的矩阵，其指数 s∈𝔽_P 描述了 “1” 的位置偏移。指数数组(e_{jℓ})和(d_{jℓ})完全决定了这两个矩阵 H_X 和 H_Z：

HX=(C(ejℓ))j,ℓ,HZ=(C(djℓ))j,ℓH_X = (C(e_{j\ell}))_{j,\ell}, \quad H_Z = (C(d_{j\ell}))_{j,\ell}

等效地，两者都是 J×L 全一原模图的 CPM 提升。每个矩阵有 JP 行、LP 列，行重 L，列重 J。设计码率基准为 1−2J/L。

配对分区与混合差约束

论文的核心创新在于使用 J×J 的配对分区数组(M_{ij})来强制 CSS 正交。每个 M_{ij}是ℤ_L 的一个配对分区，即把 L 个列类型划分为 L/2 个无序对。

对 M_{ij}中的每个对(u,v)，施加线性方程：

dj,u−ei,u=dj,v−ei,vd_{j,u} - e_{i,u} = d_{j,v} - e_{i,v}

这个条件确保了：在 H_X 的第 i 块行和 H_Z 的第 j 块行的交集中，来自 u 和 v 的两个 CPM 完全相同，在𝔽₂求和下互相抵消。Lemma 1 证明了这一系列方程直接保证了 H_X H_Z^T = 0。

对于每个 M_{ij}，给定对 p={u,v}的混合差值定义为：

δij(p):=dj,u−ei,u=dj,v−ei,v\delta_{ij}(p) := d_{j,u} - e_{i,u} = d_{j,v} - e_{i,v}

混合相异条件要求每个 M_{ij}中的 L/2 个δ_{ij}(p)互不相交。这确保了任意 X 校验和 Z 校验的交集大小为 0 或 2，而不会是 4 或更多。

围长六的环条件

对 H_X 和 H_Z 本身，论文使用标准的 CPM 4 环测试。其思路是在指数数组中检查，对任意选择的两列块类型ℓ₁, ℓ₂和两行块类型 i₁, i₂，是否存在：

(ei1,ℓ1−ei1,ℓ2)+(ei2,ℓ2−ei2,ℓ1)=0(modP)(e_{i_1,\ell_1} - e_{i_1,\ell_2}) + (e_{i_2,\ell_2} - e_{i_2,\ell_1}) = 0 \pmod P

如果上式非零，则提升后的 Tanner 图中对应的 4 环闭合。论文所有构造实例都要求围长至少为 6，因此必须通过所有这类测试（论文的 Example 5 计算了(3,8)情形下共 168 次测试）。

候选生成与筛选算法

论文的算法 1 给出了一个统一的搜索流程：

  1. 固定(M_{ij})和 P，求解配对差方程组(2)的齐次解空间。
  2. 在解空间中枚举或抽样系数向量，得到候选(e_{jℓ})和(d_{jℓ})。
  3. 对每个候选，先进行轻量级验证：混合相异条件（条件(3)）、类型级 4 环测试。
  4. 可选地，使用一个预置的低权重禁用模式库 B 进行预筛选。此库从之前被淘汰的候选码中提取相对坐标的低权重逻辑算子支撑模式，用于快速拒绝。
  5. 通过以上筛选的候选才构建完整的二值矩阵，并验证 CSS 正交性、秩和围长。
  6. 最后运行直接的低权重搜索。

距离验证

对于已选定的固定矩阵对，论文给出了严谨的距离验证方法。

下限验证使用穷举的低权重非稳定子核向量排除。算法从变量节点出发，连接地生成支撑集。在部分支撑下，使用两个下界进行剪枝：一是根据未满足校验数σ和最大列重Δ估计还需的变量数⌈σ/Δ⌉；二是对未满足校验求不相交邻居集打包，以此作为下界。若当前支撑大小加上这两个下界中较大者超过目标权重，则该分支被剪枝。

由于全填充 CPM 矩阵满足：任一块行内各提升行的和为全一向量，因此对于任意满足 Hv=0 的向量 v，必有 wt(v)为偶数（等式(5)）。这一奇偶性缩减意味着：通过穷举排除权重 D−2，即可证明 d≥D（对偶数 D）。

上限验证（对于标注精确距离的 11 个码）通过显式的非稳定子零指示向量实现。这些向量的零指示性质和不在对侧稳定子行空间中的性质，都在伴随数据文件中得到验证。对 [[944,478,≥20]]，论文仅给出了认证下限 d_X, d_Z ≥ 20。

创新点和贡献

  1. 配对分区的正交性约束：论文提出了一个简洁的代数框架——配对分区数组(M_{ij})配合配对差方程(2)，自动获得 CSS 正交性。这种方法的优势在于将正交性约束与环约束解耦，允许独立调节配对结构和指数赋值。

  2. 超越行重的距离：论文构造的码多数满足 d > L（例如(4,14)的 [[574,252,18]]，行重 14，距离 18）。在 CPM-LDPC 构造中实现这一点并非平凡，因为每个稳定子校验本身权重为 L，自动提供了一个权重 L 的码字，但排除权重在 L+1 到 d−1 之间的非稳定子逻辑算子需要进行大范围搜索。

  3. 完整的搜索-验证流程：论文将代数构造、启发式筛选和严格的距离验证明确分为两个阶段，并提供可复现的数据记录和 CI 验证（论文第 5 节详细描述了 SHA-256 清单和仓库提交号固定实例的方式）。

  4. 列重 3 和列重 4 的多样性实例：论文在两个参数空间（J=3 和 J=4）展示了 12 个码实例，涵盖了从低码率（0.258）到高码率（0.573）的范围，为不同应用需求提供了选择。

实验结果分析

论文的 Table 1 记录了 12 个 CPM 基 CSS 实例。

列重 J=3 的实例：

  • [[472,122,14]] 和 [[488,126,14]]（P=59,61）：码率约 0.258，距离 14 超过行重 8。
  • [[530,216,12]] 和 [[590,240,12]]（P=53,59）：码率约 0.408，行重 10，距离 12。
  • [[1524,766,14]]（P=127）：码率 0.503，行重 12，距离 14。
  • [[3122,1788,16]]（P=223）：码率高达 0.573，行重 14，距离 16。

列重 J=4 的实例：

  • [[276,98,14]]（P=23）和 [[372,130,16]]（P=31）：码率约 0.35，这是较小的物理实例。
  • [[518,228,16]] 和 [[574,252,18]]（L=14,P=37,41）：码率约 0.44，距离分别 16 和 18。
  • [[848,430,18]] 和 [[944,478,≥20]]（L=16,P=53,59）：码率约 0.51，是论文中最高码率的实例。

值得注意的是，对于 [[944,478,≥20]]，论文完成了通过权重 18 的完全排除，但因计算资源限制未找到上限见证，因此仅声称 d≥20（见论文第 5 节）。所有精确距离声明（前 11 行）均有显式上限见证，其零指示性质和非稳定子在伴随数据中验证。

论文的 Example 1 和 Example 2 展示了一个(3,8)设定的混合相异表：在 J²=9 个单元格中，每个单元格的 L/2=4 个混合差值取𝔽_53 中的互异值。这保证了每个 X-Z 校验对交于恰好两个位置，这是比 CSS 正交所需偶重数更强的结构约束。

从结果看，该方法在较大参数空间（J=4, L=16, P=59）找到了 d≥20 的实例，表明配对分区方法在合理搜索预算内可扩展到中大型参数。

局限与待解决问题

论文本身坦率地指出了其边界。第一，构造方法并不保证非零距离或特定距离下限。配对分区和混合相异条件仅为 CSS 正交性和交集模式提供代数支撑，距离性质完全依赖对已生成矩阵的事后搜索验证。这在理论上使得该方法不具备通用存在性论断。

第二，距离验证的计算成本很高。论文中所有距离结果都来自对固定 CMP 矩阵的穷举搜索。这一工作在参数变大时（例如更大的 P 或 J）会迅速不可行。论文未提供一种可与构造步骤整合的轻量级距离下界代数推导。

第三，论文的搜索是启发式的。候选生成采用了统一框架下的系数枚举，但对于更大的参数空间，候选基数和搜索时间将在论文未量化的方向上增长。论文未报告搜索时间或候选数量等计算复杂性指标，这使得评估该方法的扩展性较为困难。

第四，论文的工作主要停留在码构造层面。虽然引言里提及了 BP-OSD 等译码器和量子捕获集分析，但论文并未对其构造的码进行任何译码性能的仿真评估。这些码在实际噪声模型和特定译码器下的性能（尤其是高围长和配对结构对 BP 迭代的影响）仍有待后续研究。

第五，论文的显式实例仅限于 J=3 和 J=4 的 CPM-LDPC 码，围长均为 6。对于更大的列重或目标围长（例如 8 或更高），4 环测试将不得不被更复杂的提升环条件所替代。论文未讨论该方法在这些更高围长目标下的表现或难点。