基于循环置换矩阵的量子 LDPC 码的对划分构造

论文信息

标题: Pair-Partition Constructions for CPM-Based Quantum LDPC Codes

作者: Koki Okada, Kenta Kasai

发布日期: 2026-07-15

PDF 链接: 下载 PDF

论文背景与研究动机

量子低密度奇偶校验（QLDPC）码是实现容错量子计算的核心候选方案之一。Calderbank–Shor–Steane（CSS）构造将一对满足正交性的经典线性码转化为量子稳定子码，而基于稀疏校验矩阵的 LDPC 结构则便于高效错误症状提取和迭代解码。然而，同时满足 CSS 正交性、良好距离特性以及硬件友好实现依赖的准循环结构，始终是一个设计难点。

经典的准循环 LDPC（QC-LDPC）矩阵通常由循环置换矩阵（CPM）块组合而成，其紧凑的指数描述使得代数约束可以表示为指数间的同余方程。在量子版本中，需要为 $X$ 和 $Z$ 校验矩阵分别构建两张指数表，并确保它们满足正交性。已有的工作多基于仿射置换矩阵（APM）或其它代数手段，而纯 CPM 框架下的 CSS 构造在灵活性、结构控制和距离验证上仍有很大提升空间。

同时，实际量子处理器（如可重构原子阵列）对高码率、高距离量子纠错码的需求日益迫切，这要求 QLDPC 码在码率与距离之间达到更好的折衷，并具备可精确验证的最小距离。本文正是在这种背景下，提出了一种新颖的 “对分区”（pair partition）驱动的 CPM 量子 LDPC 码构造方法，成功设计出多组围长 6、距离大于行重的有限长实例，并给出了严格的距离验证。

核心方法：对分区与配对差分方程

文章的核心代数工具是一个 $J\times J$ 的对分区数组 $(M_{ij})$ ，其中 $J$ 是校验矩阵的列重（即每个量子比特参与的 $X$ 或 $Z$ 校验数量），行重用 $L$ 表示，且 $L$ 为偶数。每个 $M_{ij}$ 将 $L$ 个块列类型划分为 $L/2$ 个无序对。例如， $(3,8)$ -正则的赋值中，一个条目可以包含四对 $\{0,3\}, \{1,2\}, \{4,6\}, \{5,7\}$ 。

给定指数表 $e_{i\ell}$ （用于 $H_X$ ）和 $d_{j\ell}$ （用于 $H_Z$ ），在每一对 $(u,v) \in M_{ij}$ 上强制满足配对差分方程：

d_{j,u} - e_{i,u} = d_{j,v} - e_{i,v} \quad (\text{在 }\mathbb{F}_P \text{ 上}).

这条方程的本质是：在块行索引 $i$ 和 $j$ 的相互作用中，属于同一对的两个块列所贡献的 CPM 差异必须相等。其直接后果是，在 $H_X$ 某行和 $H_Z$ 某行的重叠（即相应块的乘积）中，每对的两个 CPM 完全相同，从而在模 2 和的意义下相互抵消。由于 $M_{ij}$ 完整划分了全部 $L$ 个列类型， $H_X H_Z^{\mathsf{T}}$ 的每一个块行-列单元都归零，CSS 正交性自动满足。

为进一步控制混合交叠的规模，文章引入了 “混合差异条件”：要求每个 $M_{ij}$ 内的每对不同对对应的 $\delta_{ij}(p) = d_{j,u} - e_{i,u}$ 不得重复。这保证了任意一个 $X$ 校验和任意一个 $Z$ 校验的交叠要么为零，要么恰好为某个对的两个位置，从而避免了正交性之外的多余交叠，使图结构更干净。

围长六条件则通过经典的 CPM 四环测试施加在 $H_X$ 和 $H_Z$ 各自的指数表上，屏蔽所有闭合成四环的危险组合。至此，只要对给定的对分区数组求解出满足上述线性方程组的指数表，就能直接得到满足正交性且围长至少为 6 的 CSS 码。

创新点与主要贡献

本文的主要创新可归纳为以下几点。

1. 对分区驱动的 CSS 正交性构造 不同于以往通过全局代数结构（如有限域的本原元）或反复试错来保证正交性，本文采用对分区数组将列类型配对，把正交条件转化为一组简洁的线性配对差分方程。这种方法使搜索空间结构化，允许对指数表的解空间进行高效遍历和筛选。

2. 混合差异条件的引入 在单纯的正交性之外，附加了 “每个单元格内配对差异互不相同” 的约束，使得混合交叠模式极度规整，有利于后续距离分析和解码器设计。结合围长六的 CPM 四环测试，整套代数约束形成了一个严格且易于并行验证的候选项生成管道。

3. 穷举距离验证与明确上界 对于每个生成的具体 CPM 矩阵，文章不是仅给出估计距离，而是通过完备的穷举搜索给出了距离下界，并利用显式非稳定子零症候向量证明了距离上界。为了处理因 CPM 平移带来的对称性，利用了素数拉升尺寸下的循环平移自同构，大幅缩小了搜索根节点的范围。附录中还提供了 JSON 格式的码字列表，确保了结果的可复现性。

4. 距离大于行重的突破 所获得的码例如 $[[276,98,14]]$ （列重 4，行重 12，距离 14）、 $[[574,252,18]]$ （列重 4，行重 14，距离 18）和 $[[944,478,\geq20]]$ 等，均超过了自身的行重，这在经典 LDPC 码中也是难得的性质。特别是这些实例全部基于围长 6 的基图，说明通过代数分层构造完全可以产生增长的距离。

实验结果与距离验证分析

论文给出了 12 个 CPM 基 CSS 码实例，列重有 $J=3$ 和 $J=4$ 两种，行重从 8 到 16，拉升尺寸 $P$ 均为素数。所有实例的 Tanner 图围长均为 6。表 1 展示了码参数，包括码长、编码量子比特数、距离以及码率。

距离验证部分充分体现了工作的严谨性。下界通过直接枚举所有重量不超过 $d-2$ 的非稳定子零症候向量完成。由于全 CPM 块矩阵的结构，所有内核向量的汉明重量必然为偶数，因此排除重量至 $D-2$ 就等效于证明了距离至少为 $D$ 。上界则由显式给出的低重量向量构成，这些向量被验证满足对侧校验且不在当前稳定子行空间中。

例如，对于 $[[276,98,14]]$ ，搜索证明没有重量 ≤12 的逻辑算子，同时找到一个重量为 14 的非稳定子代表，因此距离确定为 14。对于 $[[944,478,\geq20]]$ ，两侧均排除了重量 ≤18 的逻辑算子，从而得到下界 20，但未给出匹配上界，这符合作者对距离声明的保守策略。

搜索算法在处理过程中还引入了 “禁止低重量模式库” 作为预筛选器，从早期失败候选中提取低重逻辑算子的相对平移模式，用于快速淘汰后续具有相似结构的候选解，从而显著加速了整体搜索流程。

实践应用建议与未来发展方向

应用建议 此类高码率、围长可严格控制的 CPM 基 QLDPC 码特别适合在近期量子硬件上进行编译码试验。由于 CPM 结构的平移不变性，校验矩阵的硬件实现可以通过简单的移位寄存器完成，非常适合 FPGA 或专用 ASIC 实现。建议量子纠错架构研究者可以将本文提供的码表作为基准测试集，评估诸如分层 BP-OSD 等解码器在已知距离特性下的性能上限。此外，正则的度分布避免了译码器中的度依赖性设计负担，有利于解码调度优化。

对于量子系统设计者，码的物理实现时可以将每个块列对应到一个物理比特行中利用循环控制线，大幅降低路由复杂度。结合当前可重构原子阵列技术，这些码的逻辑操作也可以通过全局光镊移动实现高效的逻辑门。

未来方向 本文的方法可以自然扩展到更高的列重和更大的围长。当前的围长 6 条件仅需禁止四环，若需提升至围长 8，则需额外控制六环，但所需的代数测试仍只是指数间的不等式检验，可在同一线性解空间中施加。

另一方面，将对分区思想与 APM 混合使用，或许能在不牺牲代数正交性的前提下，获得更大的距离增益。此外，通过神经网络辅助搜索对分区数组本身，或直接将线性系统的求解嵌入到自动微分框架中，可能实现端到端的码设计优化。

距离验证方面，目前的穷举搜索在高行重和长码长下计算成本急剧上升，未来可结合对称约化群论方法进一步降低搜索复杂度。

总结与展望

本文提出的基于对分区的 CPM 量子 LDPC 码构造方法，巧妙地将 CSS 正交性约束转化为线性配对差分系统，配合混合差异条件与围长测试，成功生成了一批参数优秀且距离经过严格验证的有限长码例。这一工作不仅为量子 LDPC 码的代数设计提供了新的工具，也通过详尽的穷举距离证明树立了计算验证的范式。随着量子硬件向高保真度、高比特数方向发展，此类结构规整、性能可证的量子纠错码将成为实现实用化容错量子计算的重要基石。